近日，我校沈捷教授与黄富铿博士在计算数学顶级杂志SIAM J. Numer. Anal.上发表了题为“Stability and error analysis of a second order consistent splitting scheme for the Navier-Stokes equations“ 的文章。首次构造了对Navier-Stokes方程的一个可证明无条件稳定的二阶线性解耦格式并给出了严格的误差分析。

纳维尔-斯托克斯（Navier-Stokes）方程是描述不可压流体运动的基本方程，对理解大气、海洋、工程流体等领域的流体行为及其动力学性质至关重要。因其重要性，研究Navier-Stokes方程的理论性质、高效数值算法一直以来都是数学、工程等领域的重要研究课题。在数值模拟方面，速度与压力在Navier-Stokes方程中的耦合给构造高效和高精确的数值格式带来很多困难。自上世纪60年代末Chorin和Temam提出投影法来解耦速度与压力的计算以来，多种改进的解耦算法被提出并被广泛用于实际问题的模拟计算中。然而，自解耦算法提出以来，只有用一阶的压力外插格式能被严格证明无条件稳定，如何构造无条件稳定的高阶（二阶或以上）解耦格式并给出严格的误差分析是不可压流体计算领域长久悬而未决的公开问题。

在该项工作中，沈捷教授与黄富铿博士采取了一个全新的想法：不同于传统的方法在第n+β（0<β≤1）时间步作泰勒展开得到对应的时间离散格式，本文通过在第n+β（β>1）时间步作泰勒展开得到一类新的时间离散格式。研究发现，随着β的增大，所得到的数值格式线性稳定区域也相应增大（见图1）。在选取合适的参数β后，文章首次构造出二阶，无条件稳定的线性解耦格式，并巧妙地利用能量方法，给出了其无条件稳定的严格证明。最后，该项工作结合了沈捷教授团队之前提出的对一般耗散系统的广义标量辅助变量法（GSAV），对此新的二阶解耦格式作出了严格的误差估计，完美的解决了这个困扰计算流体领域多年的公开问题。

图1：玫红色部分表示稳定区域

本文所提出的构造时间离散格式的新方法不仅可用于构造对Navier-Stokes方程的无条件稳定二阶解耦格式，也可用于构造对于一类具有强刚度非线性抛物方程的高阶稳定格式，并给出严格的稳定性及误差分析。从这些高阶稳定格式出发，可以进而构造对于Navier-Stokes方程的无条件稳定的高阶（高于二阶）解耦格式。

本文第一作者黄富铿，于2021年在沈捷教授指导下获得普渡大学博士学位，目前担任新加坡国立大学博士后研究员，本文通讯作者是沈捷教授。

论文链接：

Huang, Fukeng and Shen, Jie. "Stability and Error Analysis of a Second-Order Consistent Splitting Scheme for the Navier–Stokes Equations." SIAM Journal on Numerical Analysis, 2023, 61(5): 2408-2433.

https://epubs.siam.org/doi/full/10.1137/23M1556022